中央駅周辺で完結、となると観光バスに乗るのがいいかもしれません。
史跡巡りが中心になってしまいますが、旧鹿児島城（鶴丸城）の石垣は西南戦争の弾痕等迫力ありますし、時期的にもおすすめです。
街の雰囲気を楽しむ、でしたら路面電車でブラブラするのもいいかと思いますよ～。
あとは定番？の桜島ですかね。
温泉は市内にもありますが大衆浴場といった風情の所が殆どかと思われます。お時間があれば指宿ぐらいは足を伸ばせないことも無いと思いますが…
お土産でしたらかすたどんや唐芋スイーツ等が定番ですかね。後は黒豚とか。
他になにかありましたら連絡貰えればお力になれたりなれなかったりするかと思います～。