横浜近辺の病院は知りませんが
基本的に性病検査は血液検査が主体です。
血液検査は病院ではなく検査機関がするのでどこで受けても大して変わりません。

血液検査ですので基本どの科でもやってくれると思いますが、息子さんに物理的なトラブルが目に見える、心当たりがあるようでしたら泌尿器科に行かれるのがよいと思いますよ。
泌尿器科だと顕微鏡での細菌検査なんかもやってくれるはず。

ちなみに各地域の保健所でも検査はできますよ
HIVだけのところが多いですが、梅毒、クラミジア、淋病、B型、C型肝炎なども検査してもらえる保健所もあります
が、月に1～2回しか検査日がなく結果も７～10日後という事が多いので
保健所の場合は無料か血液採取料を取られる程度
病院の場合には病院や検査内容によっても異なりますが高くっても1万円はいかないと思います。

どちらもですが「思い当たる行為」があってから１～3か月以上間が空いてないと正確な結果が出ないといわれます。